Sıfırdan farklı en az iki doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir.

A ve B iki doğal sayı olmak üzere EBOB'ları EBOB(A, B) biçiminde gösterilir.

Her iki sayının çarpanlarını yazıp ortak olanların en büyüğünü buluruz.

Örnek: 24 ve 36'nın EBOB'unu bulalım. • 24'ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 • 36'nın çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 • Ortak çarpanlar: 1, 2, 3, 4, 6, 12 • En büyük ortak çarpan: 12 EBOB(24, 36) = 12

Sayılar yan yana yazılıp ikisini de bölen asal sayılarla bölünür. Her iki sayıyı da bölen asal çarpanlar çarpılır.

Sayıları asal çarpanlarına ayırırız. Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerini çarparız.

Örnek: 24 ve 36 için: • $24=2^3\cdot 3$ • $36=2^2\cdot 3^2$ Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3 • 2'nin en küçük kuvveti: $2^2$ • 3'ün en küçük kuvveti: $3^1$ EBOB(24, 36) = $2^2\cdot 3=4\cdot 3=12$

54 ve 90 sayılarının EBOB'unu bulalım.

Adım 1: Asal Çarpanlara Ayıralım • $54=2\cdot 3^3$ • $90=2\cdot 3^2\cdot 5$

Adım 2: Ortak Çarpanları Belirleyelim Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3 • 2'nin en küçük kuvveti: $2^1$ • 3'ün en küçük kuvveti: $3^2$

Adım 3: EBOB'u Hesaplayalım EBOB(54, 90) = $2\cdot 3^2=2\cdot 9=18$

EBOB, bir şeyi en büyük eşit parçalara bölmek veya eşit gruplar oluşturmak istediğimizde kullanılır.

Bir kırtasiyede 30 kalem ve 45 silgi hediye paketi yapmak için kullanılacak. Her pakette aynı sayıda kalem ve aynı sayıda silgi olacak şekilde en fazla kaç paket hazırlanabilir?

Adım 1: Problemi Anlayalım • 30 kalem ve 45 silgi eşit şekilde paketlenecek. • Her pakette aynı sayıda kalem ve silgi olmalı. • En fazla paket için, paket sayısı hem 30'u hem 45'i tam bölmeli. • Yani 30 ve 45'in EBOB'unu bulmalıyız.

Adım 2: Asal Çarpanlara Ayıralım • $30=2\cdot 3\cdot 5$ • $45=3^2\cdot 5$

Adım 3: EBOB'u Bulalım Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetlerini alırız: • 3'ün en küçük kuvveti: $3^1$ • 5'in en küçük kuvveti: $5^1$ EBOB(30, 45) = $3\cdot 5=15$

Sonuç: En fazla 15 paket hazırlanabilir. Her pakette: $30÷15=2$ kalem ve $45÷15=3$ silgi olur.

Bir üretici 45 litre zeytinyağı ve 60 litre ayçiçek yağını, birbirine karıştırmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli en büyük bidonlara doldurmak istiyor. Bu iş için kaç bidon gerektiğini bulalım.

Adım 1: Problemi Anlayalım • Yağlar birbirine karışmayacak ve eşit hacimli bidonlara konacak. • Bidonların en büyük olması isteniyor. • Yani bidon hacmi hem 45 hem de 60'ı tam bölen en büyük sayı (EBOB) olmalı.

Adım 2: Asal Çarpanlara Ayıralım • $45=3^2\cdot 5$ • $60=2^2\cdot 3\cdot 5$

Adım 3: EBOB'u Bulalım Ortak asal çarpanlar: 3 ve 5 • 3'ün en küçük kuvveti: $3^1$ • 5'in en küçük kuvveti: $5^1$ EBOB(45, 60) = $3\cdot 5=15$ litre (Bir bidonun hacmi)

Adım 4: Toplam Bidon Sayısını Bulalım • Zeytinyağı için: $45÷15=3$ bidon • Ayçiçek yağı için: $60÷15=4$ bidon Toplam: $3+4=7$ bidon gereklidir.

İki sayının çarpımı, EBOB ve EKOK'larının çarpımına eşittir:

Örnek: $12\cdot 18=216$ ve $\text{EBOB}(12,18)\cdot \text{EKOK}(12,18)=6\cdot 36=216$ ✓