İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir.

Sayıların katlarını sırayla yazarız ve ortak olan en küçük katı buluruz.

Örnek: $6$ ve $8$'in EKOK'unu bulalım. 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... 8'in katları: 8, 16, 24, 32, 40, ... Ortak katlar: 24, 48, ... EKOK(6, 8) = 24

Sayılar yan yana yazılıp asal sayılarla bölünür. Tüm asal çarpanlar çarpılır.

$12$ ve $18$ sayılarının EKOK'unu bulalım.

EKOK(12, 18) = $2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$

$15$ ve $20$ sayılarının EKOK'unu bulalım.

EKOK(15, 20) = $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=60$

Sayıları asal çarpanlarına ayırırız. Ortak çarpanlardan üssü büyük olanı, ortak olmayanların tamamını alıp çarparız.

Örnek: $12$ ve $18$ için: $12=2^2\cdot 3$ $18=2\cdot 3^2$ EKOK = $2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$

EKOK, farklı periyotlarla tekrarlayan olayların ne zaman aynı anda gerçekleşeceğini bulmak için kullanılır.

Ayşe her $8$ günde, Ali her $12$ günde bir kütüphaneye gidiyor. Bugün birlikte gittilerse, kaç gün sonra tekrar birlikte giderler?

Adım 1: Problemi Anlayalım • Ayşe'nin kütüphaneye gittiği günler: 8, 16, 24, 32, 40, ... • Ali'nin kütüphaneye gittiği günler: 12, 24, 36, 48, ... • Tekrar birlikte gidecekleri gün hem 8'in hem 12'nin katı olmalıdır. • Yani 8 ve 12'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

Adım 2: Asal Çarpanlara Ayıralım • $8=2\cdot 2\cdot 2=2^3$ • $12=2\cdot 2\cdot 3=2^2\cdot 3$

Adım 3: EKOK'u Bulalım EKOK için her asal çarpanın en yüksek kuvvetini alırız: • 2'nin en yüksek kuvveti: $2^3$ (8'den) • 3'ün en yüksek kuvveti: $3^1$ (12'den) EKOK(8, 12) = $2^3\cdot 3=8\cdot 3=24$

Bir fabrikada uyarı ışığı her 15 saniyede bir, alarm zili ise her 20 saniyede bir çalıyor. Ikisi aynı anda çalışmaya başlarsa, kaç saniye sonra tekrar aynı anda çalarlar?

Adım 1: Problemi Anlayalım • Işık çaldığı anlar: 15, 30, 45, 60, 75, ... • Zil çaldığı anlar: 20, 40, 60, 80, ... • Tekrar aynı anda çalmaları için saniye hem 15'in hem 20'nin katı olmalı. • Yani 15 ve 20'nin EKOK'unu bulmalıyız.

Adım 2: Asal Çarpanlara Ayıralım • $15=3\cdot 5$ • $20=2^2\cdot 5$

Adım 3: EKOK'u Bulalım EKOK için her asal çarpanın en yüksek kuvvetini alırız: • 2'nin en yüksek kuvveti: $2^2$ (20'den) • 3'ün en yüksek kuvveti: $3^1$ (15'ten) • 5'in en yüksek kuvveti: $5^1$ (her ikisinde de aynı) EKOK(15, 20) = $2^2\cdot 3\cdot 5=4\cdot 3\cdot 5=60$

Sonuç: 60 saniye sonra ışık ve zil tekrar aynı anda çalar.