Bir cebirsel ifadeyi çarpanlarının çarpımı hâlinde yazmaya çarpanlarına ayırma denir. Bu işlem, çarpma işleminin tersidir.

İki ya da daha fazla terimden oluşan cebirsel ifadelerin tüm terimlerinde bulunan ortak çarpanların parantez dışına alınarak çarpım halinde yazılmasıdır.

$6\text{x}+3{\text{x}}^2=3\text{x}(2+\text{x})$

Çünkü $6\text{x}=3\text{x}\cdot 2$ ve $3{\text{x}}^2=3\text{x}\cdot \text{x}$

$2{\text{x}}^2+4\text{x}=2\text{x}(\text{x}+2)$

Açıklama: $2\text{x}$ her iki terimde de ortak çarpandır. Paranteze alındığında içeride $\text{x}$ ve $2$ kalır.

$15{\text{a}}^2\text{b}-10{\text{ab}}^2+5\text{ab}=5\text{ab}(3\text{a}-2\text{b}+1)$

Her üç terimde de $5\text{ab}$ ortak çarpandır.

Bir cebirsel ifadenin tam kare olup olmadığını anlamak için şu kriter kullanılır:

${\text{m}}^2+10\text{m}+25$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: 1. $\sqrt{{\text{m}}^2}=\text{m}$ ve $\sqrt{25}=5$ 2. Kontrol: $2\cdot \text{m}\cdot 5=10\text{m}$ ✓ (ortadaki terime eşit) 3. Sonuç: ${\text{m}}^2+10\text{m}+25=(\text{m}+5{)}^2$

$9{\text{a}}^2+24\text{ab}+16{\text{b}}^2$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: 1. $\sqrt{9{\text{a}}^2}=3\text{a}$ ve $\sqrt{16{\text{b}}^2}=4\text{b}$ 2. Kontrol: $2\cdot 3\text{a}\cdot 4\text{b}=24\text{ab}$ ✓ 3. Sonuç: $9{\text{a}}^2+24\text{ab}+16{\text{b}}^2=(3\text{a}+4\text{b}{)}^2$

$49{\text{p}}^2-42\text{pq}+9{\text{q}}^2$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: 1. $\sqrt{49{\text{p}}^2}=7\text{p}$ ve $\sqrt{9{\text{q}}^2}=3\text{q}$ 2. Kontrol: $2\cdot 7\text{p}\cdot 3\text{q}=42\text{pq}$ ✓ (ortadaki terimin mutlak değeri) 3. Ortadaki terim negatif olduğundan fark karesi: $49{\text{p}}^2-42\text{pq}+9{\text{q}}^2=(7\text{p}-3\text{q}{)}^2$

Bir cebirsel ifade iki terimin karelerinin farkı şeklinde verilirse bu ifade, terimlerin toplamı ve farkının çarpımı biçiminde çarpanlarına ayrılır.

${\text{x}}^2-25$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: ${\text{x}}^2-25={\text{x}}^2-5^2=(\text{x}+5)(\text{x}-5)$

$64{\text{a}}^2-49{\text{b}}^2$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Çözüm: 1. $\sqrt{64{\text{a}}^2}=8\text{a}$ ve $\sqrt{49{\text{b}}^2}=7\text{b}$ 2. $64{\text{a}}^2-49{\text{b}}^2=(8\text{a}{)}^2-(7\text{b}{)}^2=(8\text{a}+7\text{b})(8\text{a}-7\text{b})$

$53^2-47^2$ işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm: İki kare farkı özdeşliğini kullanarak: $53^2-47^2=(53+47)(53-47)=100\cdot 6=600$

$123^2-2\cdot 123\cdot 23+23^2$ işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm: Bu ifade fark karesi özdeşliğine uygundur: $123^2-2\cdot 123\cdot 23+23^2=(123-23{)}^2=100^2=10000$

Alanı $(9{\text{x}}^2+30\text{x}+25)$ cm² olan kare şeklindeki bir kartonun kenar uzunluğunu bulunuz.

Çözüm: 1. Önce alanı çarpanlarına ayıralım: $\sqrt{9{\text{x}}^2}=3\text{x}$ ve $\sqrt{25}=5$ Kontrol: $2\cdot 3\text{x}\cdot 5=30\text{x}$ ✓ 2. $9{\text{x}}^2+30\text{x}+25=(3\text{x}+5{)}^2$ 3. Karenin kenar uzunluğu: $(3\text{x}+5)$ cm

Bir dikdörtgenin alanı $({\text{x}}^2-36)$ cm² olarak veriliyor. Bu dikdörtgenin bir kenarı $(\text{x}+6)$ cm ise diğer kenarını bulunuz.

Çözüm: 1. Alanı çarpanlarına ayıralım: ${\text{x}}^2-36={\text{x}}^2-6^2=(\text{x}+6)(\text{x}-6)$ 2. Alan = uzun kenar × kısa kenar 3. $(\text{x}+6)(\text{x}-6)=(\text{x}+6)\cdot ?$ 4. Diğer kenar: $(\text{x}-6)$ cm

$\frac{37\cdot 43+9}{\sqrt{50^2+2\cdot 50\cdot 3+9}}$ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Pay: $37\cdot 43=(40-3)(40+3)=40^2-3^2=1600-9=1591$ Pay toplamı: $1591+9=1600$ Payda: $50^2+2\cdot 50\cdot 3+9=(50+3{)}^2=53^2=2809$ $\sqrt{2809}=53$ Sonuç: $\frac{1600}{53}=\frac{1600}{53}$ (sadeleştirilmiş hali)