Bilinmeyenin tüm değerleri için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

Alan modeli açıklaması:

Alan modeli açıklaması:

İki kare farkı, sayıların toplamı ile farkının çarpımına eşittir.

$\text{x}+\text{y}=10$ ve $\text{xy}=21$ ise ${\text{x}}^2+{\text{y}}^2$ değerini bulunuz.

Çözüm: $(\text{x}+\text{y}{)}^2={\text{x}}^2+2\text{xy}+{\text{y}}^2$ olduğundan, $100={\text{x}}^2+42+{\text{y}}^2$. Buradan ${\text{x}}^2+{\text{y}}^2=58$ bulunur.

$\text{a}-\text{b}=5$ ve $\text{a}+\text{b}=13$ ise ${\text{a}}^2-{\text{b}}^2$ değerini bulunuz.

Çözüm: ${\text{a}}^2-{\text{b}}^2=(\text{a}+\text{b})(\text{a}-\text{b})=13\cdot 5=65$

$\text{x}-\text{y}=4$ ve $\text{xy}=12$ ise ${\text{x}}^2+{\text{y}}^2$ değerini bulunuz.

Çözüm: Bu soruda iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanalım: 1. $(\text{x}-\text{y}{)}^2={\text{x}}^2-2\text{xy}+{\text{y}}^2$ formülünü yazalım. 2. Bilinen değerleri ($x-y=4$ ve $xy=12$) yerine koyalım: $4^2={\text{x}}^2-2(12)+{\text{y}}^2$ 3. İşlemleri yapalım: $16={\text{x}}^2-24+{\text{y}}^2$ 4. $-24$ sayısını karşıya atalım: $16+24={\text{x}}^2+{\text{y}}^2$ 5. Sonuç: ${\text{x}}^2+{\text{y}}^2=40$ bulunur.

$\text{a}=\sqrt{7}+2$ ve $\text{b}=\sqrt{7}-2$ ise ${\text{a}}^2+2\text{ab}+{\text{b}}^2$ ifadesinin değerini bulunuz.

Çözüm: Verilen ifade tam kare bir ifadedir: 1. ${\text{a}}^2+2\text{ab}+{\text{b}}^2=(\text{a}+\text{b}{)}^2$ özdeşliğini fark edelim. 2. Önce $\text{a}+\text{b}$ toplamını hesaplayalım: $(\sqrt{7}+2)+(\sqrt{7}-2)=2\sqrt{7}$ 3. Bulduğumuz sonucun karesini alalım: $(2\sqrt{7}{)}^2=4\cdot 7=28$ bulunur.

${\text{m}}^2-{\text{n}}^2=72$ ve $\text{m}+\text{n}=12$ ise $\text{m}-\text{n}$ değerini bulunuz.

Çözüm: Bu soruda iki kare farkı özdeşliğini kullanalım: 1. ${\text{m}}^2-{\text{n}}^2=(\text{m}+\text{n})(\text{m}-\text{n})$ formülünü yazalım. 2. Bilinenleri ($m^2-n^2=72$ ve $m+n=12$) yerine koyalım: $72=12\cdot (\text{m}-\text{n})$ 3. Her iki tarafı 12'ye bölelim: $\text{m}-\text{n}=\frac{72}{12}$ 4. Sonuç: $\text{m}-\text{n}=6$ bulunur.

$\frac{\sqrt{43\cdot 37+3^2}}{\sqrt{100^2-2\cdot 100\cdot 95+95^2}}$ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Pay ve paydadaki ifadeleri ayrı ayrı inceleyelim: Pay kısmı: $\sqrt{43\cdot 37+3^2}$ ifadesinde, $43\cdot 37$ çarpımı $(40+3)(40-3)$ şeklinde yazılabilir. Bu da $40^2-3^2$ demektir. Kök içi: $40^2-3^2+3^2=40^2$ olur. $\sqrt{40^2}=40$ elde edilir. Payda kısmı: $\sqrt{100^2-2\cdot 100\cdot 95+95^2}$ ifadesi, $(\text{a}-\text{b}{)}^2$ farkın karesi özdeşliğidir. Kök içi: $(100-95{)}^2=5^2$ olur. $\sqrt{5^2}=5$ elde edilir. Sonuç: $\frac{40}{5}=8$ bulunur.